每日一題[1889]匹克公式

三邊長均為正整數,且最大邊長為 $11$ 的三角形的個數為(? ? ? ?)

A.$25$

B.$26$

C.$36$

D.$37$

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每日一題[1888]阿波羅尼斯圓

在平面直角坐標系 $xOy$ 中,已知點 $A(4,0)$,點 $B(0,3)$,$P$ 為圓 $x^2+y^2=4$ 上一動點,則 $3AP+2BP$ 的最小值是_______.

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每日一題[1887]伸縮變換

已知 $A\left(1,\dfrac 32\right)$,$B\left(-1,-\dfrac 32\right)$ 在橢圓 $E:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}3=1$ 上,$P$ 為直線 $y=-\dfrac x2$ 上的動點,$AP,BP$ 分別于橢圓 $E$ 交于 $C,D$ 兩點,求證:直線 $CD$ 的斜率為定值.

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每日一題[1886]幾何意義

已知橢圓 $\Gamma:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的上頂點為 $C(0,1)$,以 $C$ 為圓心,以 $\dfrac{4\sqrt 3}3$ 為半徑的圓 $C$ 與橢圓 $\Gamma$ 恰好相切.

1、求橢圓 $\Gamma$ 的方程.

2、設點 $P$ 是圓 $C$ 上一點,過 $P$ 作橢圓 $\Gamma$ 的兩條切線,與橢圓 $\Gamma$ 切于 $A,B$ 兩點.當 $PA\perp PB$ 時,求點 $P$ 的坐標.

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每日一題[1885]構造函數

設函數 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$($a,b,c,d\in \mathbb{R} $ 且 $ a\ne 0$),若 $0<2f(2)=3f(3)=4f(4)<1$,則 $f(1)+f(5)$ 的取值范圍是(? ? ? ?)

A.$\left(0,1\right)$

B.$\left(1,2\right)$

C.$\left(2,3\right)$

D.$\left(3,4\right)$

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每日一題[1884]雙切線方程

已知拋物線 $E:x^2=2py$($0<p<2$)的焦點為 $F$,圓 $C:x^2+(y-1)^2=1$.點 $P(x_0,y_0)$ 為拋物線上一動點.當 $|PF|=\dfrac{5p}2$ 時,$\triangle PCF$ 的面積為 $\dfrac 12$.

1、求拋物線 $E$ 的方程.

2、若 $y_0>\dfrac 12$,過點 $P$ 作圓 $C$ 的兩條切線分別交 $y$ 軸于 $M,N$ 兩點.求 $\triangle PMN$ 的面積的最小值.

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每日一題[1883]迭代函數法

已知數列 $\{x_n\}$ 滿足 $x_1=2$,$x_{n+1}=\sqrt{2x_n-1}$($n\in\mathbb N^{\ast}$.給出下列兩個命題: 命題 $p$:對任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$,都有 $1<x_{n+1}<x_n$; 命題 $q$:存在 $r\in(0,1)$,使得對任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$,都有 $x_n\leqslant r^{n-1}+1$. 則(? ? ? ?)

A.$p$ 真,$q$ 真

B.$p$ 真,$q$ 假

C.$p$ 假,$q$ 真

D.$p$ 假,$q$ 假

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每日一題[1882]擴大差異

比較 ${\log_3}4$ 與 ${\log_4}6$ 的大小.

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每日一題[1881]伸縮變換

已知橢圓 $C_1:\dfrac{x^2}2+y^2=1$,過橢圓 $C_1$ 上一點 $P$ 作橢圓 $C_1$ 的切線 $l$,$O$ 為坐標原點.

1、當直線 $l$ 與坐標軸不垂直時,設直線 $l$ 的斜率為 $k$,直線 $OP$ 的斜率為 $k_{OP}$,求證:$k\cdot k_{OP}$ 為定值.

2、設直線 $l$ 與橢圓 $C_2:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1$ 相交于 $M,N$ 兩點,求 $|MN|\cdot |OP|$ 的取值范圍.

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每日一題[1880]概率分布

已知正三角形被線段劃分成 $9$ 個小正三角形,$1$ 個小球從 $P$ 區域出發,每 $1$ 秒后等可能的到達相鄰的區域,求 $n$ 秒后小球到達 $Q$ 區域的概率.

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