每日一題[1688]數值估計

設 $a=\sin 15^\circ+\cos 15^\circ$,$b=\sin 16^\circ+\cos 16^\circ$,則下列各式正確的是(? ? ? ?)

A.$a<\dfrac {a^2+b^2}2<b$

B.$a<b<\dfrac {a^2+b^2}2$

C.$b<a<\dfrac {a^2+b^2}2$

D.$b<\dfrac {a^2+b^2}2<a$

答案? ? B.

解析? ? 根據題意,有 $a=\sqrt 2\sin 60^\circ$,$b=\sqrt 2\sin 61^\circ$,于是\[\sqrt{\dfrac 32}=a<b\implies \dfrac 32<\dfrac{a^2+b^2}2,\]因此\[a<b<\sqrt 2<\dfrac 32<\dfrac{a^2+b^2}2.\]

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