每日一題[1687]代數與幾何

函數 $f(x)=\dfrac {\sin x}{\sqrt {5+4\cos x}}$($0\leqslant x\leqslant 2\pi$)的值域是(? ? ? ? )

A.$\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]$

B.$\left[-\dfrac 13,\dfrac 13\right]$

C.$\left[-\dfrac 12,\dfrac 12\right]$

D.$\left[-\dfrac 23,\dfrac 23\right]$

答案? ? C.

解析? ? 根據題意,有\[f\left(x\right) =\dfrac{\sin x}{\sqrt{\sin^2x+\cos ^2x+4\cos x+4}}=\dfrac{\sin x}{\sqrt{\sin ^2x+\left( \cos x+2 \right) ^2} },\] 所以 $\left|f(x)\right|$ 表示 $\odot O:x^2+y^2=1$ 上的點與 $A\left(-2,0 \right) $ 連線夾角 $\theta$ 的正弦值,如圖所示.

當 $AD$ 與圓相切時,正弦值最大,為 $\dfrac{1}{2}$.

另法? ? 記題中代數式為 $y$,則\[t^2+4y^2t+5y^2-1=0,\]其中 $t=\cos x$ 其判別式\[\Delta=4(4y^2-1)(y^2-1)\geqslant 0\iff y^2\geqslant 1\lor y^2\leqslant \dfrac 14.\]

情形一? ? 若 $y^2\geqslant 1$,則對稱軸 $t=-2y^2$ 在區間 $[-1,1]$ 外,結合 $t=-1$ 和 $t=1$ 時對應二次函數的函數值均不小于 $0$,矛盾.

情形二? ? 若 $y^2\leqslant \dfrac 14$,則 $t=-1$ 時和 $t=1$ 時對應的二次函數函數值異號(或為 $0$)符合題意. 綜上所述,所求函數的值域為 $\left[-\dfrac 12,\dfrac 12\right]$.

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