每日一題[1686]擬合折線

已知 $f(x),g(x),h(x)$ 均為一次函數,若對實數 $x$ 滿足\[|f(x)|-|g(x)|+h(x)=\begin{cases} -1,&x<-1,\\ 3x+2,&-1\leqslant x<0,\\ -2x+2,&x\geqslant 0,\end{cases}\]則 $h(x)$ 的解析式為_______.

答案? ? $h(x)=-x+\dfrac 12$.

解析? ? 不妨設 $f(x)=a_1x+b_1$,$g(x)=a_2x+b_2$,$h(x)=a_3x+b_3$,且 $a_1,a_2>0$,記 $m=-\dfrac{b_1}{a_1}$,$n=-\dfrac{b_2}{a_2}$.

情形一? ? ?$m<n$.此時\[|f(x)|-|g(x)|+h(x)=\begin{cases} (-a_1+a_2+a_3)x+(-b_1+b_2+b_3),&x<m,\\ (a_1+a_2+a_3)x+(b_1+b_2+b_3),&m\leqslant x<n,\\ (a_1-a_2+a_3)x+(b_1-b_2+b_3),&x>n,\end{cases}\]解得\[\begin{cases} f(x)=\dfrac 32x+\dfrac 32,\\ g(x)=\dfrac 52x,\\ h(x)=-x+\dfrac 12,\end{cases}\]符合題意.

情形二? ? ?$m>n$.此時\[|f(x)|-|g(x)|+h(x)=\begin{cases} (-a_1+a_2+a_3)x+(-b_1+b_2+b_3),&x<n,\\ (-a_1-a_2+a_3)x+(-b_1-b_2+b_3),&n\leqslant x<m,\\ (a_1-a_2+a_3)x+(b_1-b_2+b_3),&x>m,\end{cases}\]無解. 綜上所述,$h(x)$ 的解析式為 $h(x)=-x+\dfrac 12$.

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