每日一題[1685]遞推概率

甲、乙兩人輪流擲一枚硬幣至正面朝上或者朝下,規定誰先擲出正面朝上為贏;前一場的輸者,則下一場先擲.若第一場甲先擲,則甲贏得第 $n$ 場的概率為_______.

答案? ? $\dfrac1 2+\dfrac 1 6\left(-\dfrac1 3\right)^{n-1}$.

解析? ? 在每一場,設先擲的人獲勝的概率為 $p$,則\[p=\dfrac 12+\dfrac 12 \cdot \dfrac 12\cdot p\implies p=\dfrac 23.\]設甲贏得第 $n$ 場的概率為 $p_n$,則乙贏得第 $n$ 場的概率為 $1-p_n$,于是\[p_{n+1}=p_n\cdot (1-p)+(1-p_n)\cdot p=-\dfrac 13p_n+\dfrac 23,\]根據不動點法可得\[p_n=\dfrac 16\cdot\left(-\dfrac 13\right)^{n-1}+\dfrac 12,n\in\mathbb N^{\ast}.\]

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