每日一題[1682]三角循環

給定數列 $\{x_n\}$,$x_1=1$,且 $x_{n+1}=\dfrac{\sqrt3x_n+1}{\sqrt3-x_n}$,則 $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{2008}{x_n}=$(? ? ? ?)

A.$0$

B.$-1$

C.$2+\sqrt3$

D.$-2+\sqrt3$

A

解析? ? 根據題中等式特點,利用三角變形,令 $x_n=\tan a_n$,則$$x_{n+1}=\tan\left(a_n+\dfrac{\pi}{6}\right)\implies x_{n+6}=x_n,$$故數列 $\{x_n\}$ 是周期為 $6$ 的周期數列,且\[\begin{array}{c|cccccc}\hline n&1&2&3&4&5&6\\ \hline x_n&1&2+\sqrt 3&-2-\sqrt 3&-1&-2+\sqrt 3&2-\sqrt 3\\ \hline \end{array}\]因此$$x_1+x_2+\cdots+x_6=0,$$進而$$\sum\limits_{n=1}^{2008}{x_n}=x_1+x_2+x_3+x_4=0.$$

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