每日一題[1488]和諧的向量

設 $W$ 是由平面內的 $n $($ n\geqslant 3 $)個向量組成的集合.若 $ \overrightarrow{a}\in W $,且 $ \overrightarrow{a} $ 的模不小于 $ W $ 中除 $ \overrightarrow{a} $ 外的所有向量之和的模,則稱 $ \overrightarrow{a} $ 是 $ W $ 的一個極大向量.有下列命題:

① 若 $ W $ 中每個向量的方向都相同,則 $ W $ 中必存在一個極大向量;

② 給定平面內兩個不共線向量 $ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} $,在該平面內總存在唯一的平面向量 $ \overrightarrow{c}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} $,使得 $ W=\left\{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\right\} $ 中的每個元素都是極大向量;

③ 若 $ W_1=\left\{\overrightarrow{a}_1,\overrightarrow{a}_2,\overrightarrow{a}_3\right\} $ 與 $ W_2=\left\{\overrightarrow{b}_1,\overrightarrow{b}_2,\overrightarrow{b}_3\right\} $ 中的每個元素都是極大向量,且 $ W_1\cap W_2=\varnothing $,則 $ W_1\cup W_2$ 中的每一個元素也都是極大向量.

其中真命題的序號有_______.

答案? ? ? ? ②③.

解析? ? ? ?命題 ①? ? ? 取 $W=\{(2,0),(3,0),(4,0)\}$,則 $W$ 中不存在極大向量.

命題 ②? ? ? ?一方面,$W=\left\{\overrightarrow a,\overrightarrow b,-\overrightarrow a-\overrightarrow b\right\}$ 中任何一個元素都是極大向量;另一方面,若 $W=\left\{\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c\right\}$ 中任何一個元素都是極大向量,則\[\begin{cases} \left|\overrightarrow a\right|\geqslant \left|\overrightarrow b+\overrightarrow c\right|,\\ \left|\overrightarrow b\right|\geqslant \left|\overrightarrow c+\overrightarrow a\right|,\\ \left|\overrightarrow c\right|\geqslant \left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|,\end{cases}\]于是\[\sum_{\rm cyc}\left|\overrightarrow a\right|^2\geqslant \sum_{\rm cyc}\left|\overrightarrow b+\overrightarrow c\right|^2,\]即\[\sum_{\rm cyc}\left|\overrightarrow a\right|^2\geqslant \sum_{\rm cyc}\left|\overrightarrow b\right|^2+\sum_{\rm cyc}\left|\overrightarrow c\right|^2+2\sum_{\rm cyc}\left(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right),\]也即\[\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)^2\leqslant 0,\]也即\[\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c=\overrightarrow 0,\]因此命題成立.

命題 ③? ? ? ?利用命題 ② 的結論,可得\[\overrightarrow a_1+\overrightarrow a_2+\overrightarrow a_3=\overrightarrow b_1+\overrightarrow b_2+\overrightarrow b_3=\overrightarrow 0,\]于是\[\left|\overrightarrow a_i\right|=\left|\overrightarrow a_1+\overrightarrow a_2+\overrightarrow a_3+\overrightarrow b_1+\overrightarrow b_2+\overrightarrow b_3-\overrightarrow a_i\right|,\]因此 $W_1\cup W_2$ 中每一個向量都是極大向量.

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每日一題[1488]和諧的向量》有1條回應

  1. cbc123e說:

    對(2)解析中,“即” 與 “也即”之間的,最后那個循環和,向量a點乘b,最好改成 b點乘c ,合理些 。

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